平行圖樣中的摩列
编辑
幾何手法
编辑
兩幅圖樣以畫面橫軸的中心點為準重疊 透過重疊兩相似圖樣（轉動α度）得到之摩列
考慮兩組由平行且等距之線構成的圖樣。第一個圖樣線距為
p
{\displaystyle p}
，第二個線距則為
p
+
δ
p
{\displaystyle p+\delta p}
，並有
0
<
δ
<
1
{\displaystyle 0<\delta <1}
。
假如圖樣的線重疊於左側，則線之間的位移隨著往右而加大。給定數值支線以後，圖樣相反了：第二個圖樣之線位於第一個圖樣線之間。從遠距離觀察，當線重疊時看起來空白，線『倒反』時看起來暗。
第一暗區的中央在位移等於
p
2
{\displaystyle {\frac {p}{2}}}
處. 第二個圖樣第
n
{\displaystyle n}
th 線與第一圖樣第
n
{\displaystyle n}
th 線相比，移動了
n
⋅
δ
p
{\displaystyle n\cdot \delta p}
。於是，第一暗區的中央為：
n
⋅
δ
p
=
p
2
{\displaystyle n\cdot \delta p={\frac {p}{2}}}
即
n
=
p
2
δ
p
.
{\displaystyle n={\frac {p}{2\delta p}}.}
一暗區與一亮區之間的距離 d 為
d
=
n
⋅
p
=
p
2
2
δ
p
{\displaystyle d=n\cdot p={\frac {p^{2}}{2\delta p}}}
兩暗區（同時也是兩亮區）之間距離
2
d
=
p
2
δ
p
{\displaystyle 2d={\frac {p^{2}}{\delta p}}}
由此公式，易見：線距愈大，亮區與暗區之間距離越大。線距之差
δ
p
{\displaystyle \delta p}
愈大，亮區與暗區愈近。當然，當
δ
p
=
p
2
{\displaystyle \delta p={\frac {p}{2}}}
，無例外的可得一均勻灰階圖案。
數學方程手法
编辑
於此節中我們將給出一個數學上的實例，與其中一種得出圖樣與摩列效應可以數學表示的方法。
圖案的可見性取決於其基底或介質，可能為 不透明（如紙本）或透明（如於塑膠片上）。為求討論，我們可假設兩原始圖樣皆為白紙灰階，且其列印處之不透明度由 0 (白) 至 1 (黑)之範圍給出。（ 1/2 表示純灰） 任何小於0或大於1之灰階皆 "無法列印".
我們同時選擇取同位置所有圖案透明度之平均為重疊後圖案之透明度，即，和之一半，不大於1。
考慮兩幾乎一樣，正弦相關之灰階圖樣重疊“列印”。先將其一印於紙上，第二個重疊於上且座標軸對齊。我們可以
f
=
1
+
sin
(
k
x
)
2
{\displaystyle f={\frac {1+\sin(kx)}{2}}}
表示紙面上對一給定座標軸（舉例，x軸），對距離的正不透明度方程。
1的存在使得方程恆正，而除以2避免方程結果大於1。
k
{\displaystyle k}
為強度週期/單位距離， 表示圖樣灰階強度的週期變動。因正弦方程對
2
π
{\displaystyle 2\pi }
有循環，當
k
Δ
x
=
2
π
{\displaystyle k\Delta x=2\pi }
，或
Δ
x
=
2
π
k
{\displaystyle \Delta x={\frac {2\pi }{k}}}
時，可得每強度週期（波長）之距離增長。
考慮以下週期變動有細微差異的兩圖樣:
f
1
=
1
+
sin
(
k
1
x
)
2
{\displaystyle f_{1}={\frac {1+\sin(k_{1}x)}{2}}}
f
2
=
1
+
sin
(
k
2
x
)
2
{\displaystyle f_{2}={\frac {1+\sin(k_{2}x)}{2}}}
使得
k
1
≈
k
2
{\displaystyle k_{1}\approx k_{2}}
.
二方程之平均值，同時也表示重疊圖像，如下給出：
f
3
=
f
1
+
f
2
2
{\displaystyle f_{3}={\frac {f_{1}+f_{2}}{2}}}
=
1
2
+
sin
(
k
1
x
)
+
sin
(
k
2
x
)
4
{\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sin(k_{1}x)+\sin(k_{2}x)}{4}}}
=
1
+
sin
(
A
x
)
cos
(
B
x
)
2
{\displaystyle ={\frac {1+\sin(Ax)\cos(Bx)}{2}}}
易見
A
=
k
1
+
k
2
2
{\displaystyle A={\frac {k_{1}+k_{2}}{2}}}
且
B
=
k
1
−
k
2
2
.
{\displaystyle B={\frac {k_{1}-k_{2}}{2}}.}
此方程平均，
f
3
{\displaystyle f_{3}}
，明顯位於 [0,1]之間。有鑒於
A
{\displaystyle A}
為
k
1
{\displaystyle k_{1}}
與
k
2
{\displaystyle k_{2}}
之平均且近於兩者，摩列效應可 distinctively demonstrated by the sinusoidal envelope "拍頻"方程
cos
(
B
x
)
{\displaystyle \cos(Bx)}
, 其週期變動為
k
1
{\displaystyle k_{1}}
及
k
2
{\displaystyle k_{2}}
之差的一半（ "慢"許多).
其他常見一維摩列效應包括當兩幾乎一樣之純音同時發聲時所產生的拍頻。此即在一維時間下聲音的摩列效應：原始的兩因仍在，但聽者只接收到兩者節拍之平均值與兩者頻率差之半。
本節總結：
旋轉圖樣
编辑
考慮兩相同線距
p
{\displaystyle p}
之圖樣，但有第二個圖樣轉動
α
{\displaystyle \alpha }
度。從遠處看，我們可見到暗紋與亮紋：亮紋相當於節線。即，通過兩圖樣交疊處的線。
考慮"網"之單位格，易見單位格 為 菱形： 其為四邊邊長
d
=
p
sin
α
{\displaystyle d={\frac {p}{\sin \alpha }}}
之 平行四邊形； (我們可得一斜邊為
d
{\displaystyle d}
之三角形且
α
{\displaystyle \alpha }
角之對邊為
p
{\displaystyle p}
).
"網"單位格; "ligne claire" ， "亮紋" 改變角度之效應
亮紋相當於菱形之短對角線。因對角線為鄰邊之 垂直平分線 ，易見亮紋與垂直於各圖案的線構成一等同於
α
2
{\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}
的角度。
更進一步，兩亮紋之間距離為
D
{\displaystyle D}
，長對角線之一半。長對角線唯一直角三角形之直角對邊，且直角鄰邊為
d
(
1
+
cos
α
)
{\displaystyle d(1+\cos \alpha )}
和
p
{\displaystyle p}
。 由 畢氏定理
(
2
D
)
2
=
d
2
(
1
+
cos
α
)
2
+
p
2
{\displaystyle (2D)^{2}=d^{2}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}}
id est
(
2
D
)
2
=
p
2
sin
2
α
(
1
+
cos
α
)
2
+
p
2
=
p
2
⋅
(
(
1
+
cos
α
)
2
sin
2
α
+
1
)
{\displaystyle (2D)^{2}={\frac {p^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}(1+\cos \alpha )^{2}+p^{2}=p^{2}\cdot \left({\frac {(1+\cos \alpha )^{2}}{\sin ^{2}\alpha }}+1\right)}
從遠處看，
(
2
D
)
2
=
2
p
2
⋅
1
+
cos
α
sin
2
α
{\displaystyle (2D)^{2}=2p^{2}\cdot {\frac {1+\cos \alpha }{\sin ^{2}\alpha }}}
or
D
=
p
2
/
sin
α
2
.
{\displaystyle D={\frac {p}{2}}/\sin {\frac {\alpha }{2}}.}
曲線上的效應
如
α
{\displaystyle \alpha }
極小 (
α
<
π
6
{\displaystyle \alpha <{\frac {\pi }{6}}}
)， 可做以下近似：
sin
α
≈
α
{\displaystyle \sin \alpha \approx \alpha }
cos
α
≈
1
{\displaystyle \cos \alpha \approx 1}
於是
D
≈
p
α
.
{\displaystyle D\approx {\frac {p}{\alpha }}.}
可見，
α
{\displaystyle \alpha }
愈小，亮紋愈遠；當兩圖樣平行時(
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
)，亮紋間距離為 "無限" (無亮紋)。
另外有給出
α
{\displaystyle \alpha }
的兩個方法：
α
≈
p
D
{\displaystyle \alpha \approx {\frac {p}{D}}}
如果選擇測量角度，最終的誤差正比於測量誤差。選擇測量空間關係，誤差正比於空間關係的倒數。因此，對於小角度，測量空間較為理想。